10 Sifat – Sifat Logaritma dan Contoh Pembuktiannya Lengkap

Posted on

Rumus.Co.Id – Kali ini akan membahas tentang 10 sifat – sifat logaritma dan pembuktiannya lengkap serta contohnya dimana pada pertemuan sebelumnya juga telah dibahas tentang persamaan logaritma.

Pengertian Logaritma

Logaritma adalah sebuah hasil kebalikan dari suatu perpangkatan. Misalkan, pada sebuah perpangkatan ac= b, maka dapat dinyatakan dalam logaritma sebagai:

alog b = c

Dengan syarat a > 0. Pada penulisan logaritma alog b = c diatas berikut ini keterangannya :

  • Bialangan (a) disebut  sebagai bilangan pokok
  • Bilangan (b) disebut sebagai bilangan numerus atau disebut juga bilangan yang dicari nilai logaritmanya (b > 0)
  • Bilangan (c) merupakan hasil dari logaritma tersebut

Jika  suatu nilai a sama dengan 10,  maka biasanya angka 10 tidak dituliskan sehingga berubah  menjadi log b = c.

Dan apabila suatu nilai bilangan pokoknya merupakan bilangan e (bilangan eurel) dengan e = 2,718281828 maka logaritmanya akan ditulis dengan logaritma natural dan pada penulisannya dapat disingkat menjadi ln, misalnya elog b = c menjadi:

ln b = c

Berikut ini merupakan sejumlah contoh dari logaritma :

logaritma
penulisan logaritma

Bentuk Umum Logaritma

Bentuk umum dari logaritma ialah sebagai berikut.

ax = b         ↔      x = alog

Dengan syarat sebagai berikut: b > 0, a > 0 dan a ≠ 1

Keterangan :

  • a = Bilanganya pokok atau basis logaritma
  • b = Numerus, yaitu bilangan yang akan dicari nilai  dari logaritmanya
  • x = Hasil logaritma, dapat positif, nol atau bahkan negatif.

Sifat – Sifat Logaritma

Di bawah ini merupakan tabel dari sifat sifat logaritma yang meliputi :

tabel sifat sifat logaritma
tabel sifat sifat logaritma
  1. Sifat Logaritma dari perkalian

Suatu logaritma merupakan hasil dari penjumlahan  dua logaritma  yang lain yang nilai kedua numerus-nya merupakan faktor dari nilai numerus awal. Berikut  modelnya :

alog p.q = alog p + alog q

yaitu dengan syarat: a > 0,  , p > 0, q > 0.

  1. Perkalian Logaritma

Suatu logaritma dari bilangan (a) dapat dikalikan dengan logaritma bilangan (b) apabila nilai dari numerus logaritma (a) sama dengan nilai dari bilangan pokok logaritma (b). Hasil dari perkalian tersebut merupakan bentuk dari logaritma baru dengan nilai bilangan pokok sama dengan logaritma (a)nya, dan nilai numerusnya sama dengan logaritma (b).

Berikut ini model dari sifat logaritmanya :

alog b x blog c = alog c

yaitu dengan syarat: a > 0,  .

  1. Sifat Logaritma dari pembagian

Suatu logaritma merupakan hasi daril pengurangan antara dua logaritma lain yang nilai kedua numerus-nya merupakan hasil dari pecahan atau pembagian dari nilai numerus logaritma awalnya. Dibawah ini adalah modelnya:

alog   = alog p – alog q

yaitu dengan syarat: a > 0,  , p > 0, q > 0

  1. Sifat Logaritma berbanding terbalik

Suatu logaritma dapat berbanding terbalik dengan logaritma lainnya  yang memiliki nilai bilangan pokok dan numerus-nya saling bertukaran. Berikut adalah modelnya:

alog b =1/b log a

yaitu dengan syarat: a > 0

  1. Logaritma berlawanan tanda

Suatu logaritma yang berlawanan tanda dengan logaritma yang memiliki numerus-nya merupakan hasil dari pecahan yang terbalik dari nilai numerus logaritma awal. Berikut ini modelnya:

alog   = – alog

yaitu dengan syarat: a > 0, p > 0, q > 0

  1. Sifat Logaritma dari perpangkatan

Suatu nilai dari logaritma dengan nilai numerus-nya merupakan suatu eksponen (pangkat) yang dapat dijadikan sebagai logaritma baru dengan mengeluarkan pangkatnya sehingga dapat menjadi bilangan pengali. Berikut ini modelnya :

alog bp = p. alog b

yaitu dengan syarat: a > 0,  , b > 0

  1. Perpangkatan Bilangan Pokok Logaritma

Suatu nilai dari logaritma dan dengan nilai bilangan pokoknya merupakan suatu eksponen (pangkat)yang  dapat dijadikan sebagai bentuk logaritma baru dengan mengeluarkan pangkatnya sehingga menjadi bilangan pembagi. Berikut ini modelnya:

dengan syarat a > 0

  1. Bilangan pokok logaritma sebanding dengan perpangkatan numerus

Suatu nilai dari sebuah logaritma dengan nilai numerus-nya merupakan suatu eksponen (pangkat) dari nilai bilangan pokoknya yang memiliki hasil yang sama dengan nilai pangkat numerusnya tersebut. Berikut ini model sifat logaritma nya:

alog ap = p

yaitu dengan syarat: a > 0

  1. Perpangkatan logaritma

Suatu nilai dari  bilangan yang memiliki pangkat berbentuk logaritma, hasil pangkatnya tersebut merupakan nilai numerus dari logaritma tersebut. Berikut  ini modelnya:

Yaitu dengan syarat: a > 0, m > 0

  1. Mengubah basis logaritma

Suatu nilai dari logaritma dapat dipecah menjadi perbandingan dua buah logaritma seperti berikut:

Yaitu dengan syarat: a > 0, p > 0, q > 0

Grafik Logaritma

Fungsi  dari bentuk logaritma yang dinyatakan dalam bentuk grafik dapat digunakan untuk membantu menentukan grafik fungsi dari  logaritma. Di bawah ini adalah gambar grafik logaritma beserta inversnya.

grafik logaritma
grafik logaritma

Contoh Soal Logaritma dan Pembahasan

1). Berapakah Hasil dari   …

 

 

Penyelesaianya adalah :

 

 

 

 

 

 

 

 

2).

sama dengan……

Penyelesaiannya adalah :

Ingat kalau :

 

 

 

Maka persamaan diatas dapat disederhanakan menjadi :