Rumus Sudut Pusat

Posted on

Rumus Sudut Pusat dan Sudut Keliling Lingkaran Beserta Contoh Soalnya – Pembahasan materi kali ini adalah pengertian, rumus, hubungan, sifat dan contoh soal beserta pembahasannya tentang rumus sudut pusat dan sudut keliling lingkaran. Silahkan kalian simak penjelasannya dibawah ini!

Sudut Pusat

Sudut pusat adalah sebuah sudut dengan derajat terkecil yang dibentuk oleh pusat lingkaran dan dua buah jari-jari yang terletak pada busur lingkaran. Berikut gambar yang akan menunjukkan letak sudut pusat secara lebih jelas dibawah ini.

Rumus Sudut Pusat
Rumus Sudut Pusat

Keterangan:

 \angle AOB adalah sudut pusat yang menghadap pada busur AB.
\angle COD adalah sudut pusat yang menghadap pada busur CD.

Sudut Keliling

Sudut keliling adalah sebuah sudut yang terbentuk oleh tiga titik yang terletak pada busur lingkaran. Berikut gambar untuk mengetahui letak sudut keliling pada sebuah lingkaran dibawah ini.

Rumus Sudut Keliling
Rumus Sudut Keliling

Keterangan:

  \angle BCA adalah sudut pusat yang menghadap pada busur AB.
\angle XZY adalah sudut pusat yang menghadap pada busur XY.

Hubungan Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Pada sudut pusat dan sudut keliling yang telah menghadap busur yang sama mempunyai sebuah hubungan. Jadi, jika pada besar sudut pusat telah diketahui, maka sudut keliling yang menghadap busur yang sama bisa diketahui juga. Hubungan antara kedua sudut tersebut bisa dinyatakan pada uraian di bawah ini.

Perhatikan gambar sudut di bawah!

hubungan sudut pusat dan keliling
hubungan sudut pusat dan keliling

1. Besar sudut pusat ialah dua kali besar sudut keliling yang menghadap pada busur yang sama.

\[ \angle AOB = 2 \times ACB \]

2. Besar sudut keliling ialah setengah dari besar sudut pusat yang menghadap pada busur yang sama.

\[ \angle ACB = \frac{1}{2} \times AOB \]

3. Besar sudut keliling yang menghadap pada busur yang sama yaitu sama.
Pada kasus ini, coba perhatikan gambar di bawah ini!

hubungan sudut pusat dan sudut keliling lingkaran
hubungan sudut pusat dan sudut keliling lingkaran

Perhatikan  \angle ACB\angle AXB, dan  \angle AYB. Ketiganya telah menghadap pada busur yang sama, yakni AB. Jadi, besar ketiga sudut diatas adalah sama, \angle ACB = \angle AXB = \angle AYB.

4. Jumlah pada sudut keliling yang saling berhadapan ialah 180^{o}.
Perhatikan gambar di bawah ini!

hubungan sudut keliling
hubungan sudut keliling

Hubungan di antara dua sudut keliling \angle PSR dan \angle PQR yaitu :

\[ \angle PSR + \angle PQR = 180^{o}\]

Sifat-Sifat Sudut Pusat dan Sudut Keliling

1. Sudut keliling yang menghadap pada diameter lingkaran akan membentuk sudut 90 derajat atau disebut dengan sudut siku-siku

sifat sudut keliling
sifat sudut keliling

Besar sudut PRQ yaitu 90 derajat.

2. Sudut keliling yang menghadap pada busur yang sama akan mempunyai besar sudut yang sama juga.

Sudut keliling
Sudut keliling

Besar sudutnya adalah ∠ QPR = ∠ QTR = ∠ QSR

3. Sudut-sudut keliling yang saling berhadapan akan mempunyai jumlah sudut yaitu 180 derajat.

Sudut-sudut keliling
Sudut-sudut keliling

∠ PSR + ∠PQR = 180 derajat

Contoh Soal Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Contoh Soal 1

Perhatikan gambar dibawah ini!

Contoh Soal Sudut Pusat dan Keliling
Contoh Soal Sudut Pusat dan Keliling

Pada besar sudut AOB yaitu 40^{o} , maka besarnya \angle ACD yaitu?

\[ \textrm{A.} \; \; \; 70^{o} \]

\[ \textrm{B.} \; \; \; 72^{o} \]

\[ \textrm{C.} \; \; \; 80^{o} \]

\[ \textrm{D.} \; \; \; 83^{o} \]

Pembahasan:
Garis DB adalah sebuah garis lurus (Perhatikan! Besar sudut pada garis lurus tersebut 180^{o}).

\[ \angle AOD + \angle AOB = 180^{o} \]

\[ \angle AOD + 40^{o} = 180^{o} \] 

 \[ \angle AOD = 180^{o} - 40^{o} \]

 \[ \angle AOD = 140^{o} \]

Kemudian, perhatikan pada  \angle ACD dan \angle AOD berturut-turut adalah sebuah sudut pusat dan sudut keliling yang menghadap busur yang sama yakni AD, Maka :

\[ \angle ACD = \frac{1}{2} \times \angle AOD\]

\[ \angle ACD = \frac{1}{2} \times 140^{o} \]

\[ \angle ACD = 70^{o}\]

Jawaban: A

Contoh Soal 2

Pada sebuah lingkaran berpusat dengan titik O, perhatikan pada gambar dibawah ini.

soal sudut
soal sudut

Maka tentukan besar sudut AOB tersebut!

Pembahasan
Sudut AOB adalah sebuah sudut pusat yang menghadap pada busur yang sama dengan sudut ACB disebut sebagai sudut keliling. Hubungan antara kedua sudut AOB dan ACB adalah:

∠AOB = 2 × ∠ACB

Jawab :

∠AOB = 2 × 55° = 110°

Contoh Soal 3

Diketahui sebuah sudut:
∠AOB = 65°

Maka tentukan besar sudut ∠ ACB

soal sudut pusat dan lingkaran
soal sudut pusat dan lingkaran

Pembahasan
Hubungan pada sudut ACB (sudut keliling) dan sudut AOB (sudut pusat) adalah:

∠ ACB = 1/2 × ∠ ACB
∠ ACB = 1/2 × 65° = 32,5°

Demikian pembahasan mengenai Rumus Sudut Pusat dan Sudut Keliling Lingkaran Beserta Contoh Soalnya, semoga bisa bermanfaat untuk kalian semua.

Artikel Terkait :