Deret Geometri Tak Hingga Beserta Rumus un dan Rumus Rasio

Posted on

Deret Geometri Tak Hingga – adalah suatu barisan geometri yang memiliki tak hingga banyaknya suku-suku. Berikut adalah penjelasan lengkap tentang materi barisan geometri tak hingga yang meliputi konvergen dan divergen, Untuk lebih jelasnya simak pembahasan dibawah ini

Deret geometri tak hingga

Pengertian Deret Geometri Tak Hingga

Barisan geometri tak hingga dikatakan konvergen andai suku ke tak hingga dari barisan itu menuju ke suatu nilai tertentu. Syaratnya adalah nilai rasio terletak antara -1 dan 1.

Bentuk umum dari deret geometri tak hingga yaitu :

a + ar + ar2 + ar3 + ( … )

Keterangan
a adalah suku pertama dan r yaitu rasio.

Tanda titik tiga (…) tersebut menandakan bahwa penjumlahan dilanjutkan hingga terus menerus dengan mengikuti pola deret tersebut.

Ada dua istilah yang sering dipakai menyangkut barisan atau deret tak hingga, yaitu:

  1. Konvergen
  2. Divergen.

Konvergen yaitu memusat atau menuju kepada suatu titik tertentu. Sebaliknya, divergen memiliki arti tidak memusat, bisa jadi menyebar, berisolasi, dan mungkin konstan, yang pasti tak menuju ke suatu titik tertentu.

Pada deret geometri, kekonvergenan bisa dilihat dari rasio deret tersebut.

Deret geometri tak hingga dikatakan konvergen dan memiliki jumlah jika dan hanya jika |r| < 1.

Deret geometri tak hingga dikatakan divergen jika |r| ≥ 1. Deret divergen tidak memiliki jumlah.

Catatan :
|r| < 1 ≡ -1 < r < 1
|r| ≥ 1 ≡ r ≤ -1 atau r ≥ 1

Dari barisan dan deret tersebut, bisa dilihat antara suku pertama dengan suku kedua, antara suku kedua dan suku ketiga juga seterusnya selalu punya pengali yang sama. Agar lebih mudah, harus mengetahui dahulu (a) nya atau suku pertama. Selain suku pertama, juga harus tahu rasionya (r).

Rumus Mencari Rasio
Rumus Mencari Rasio

Jika sudah mengetahui a dan r nya, sekarang pelajari rumus suku ke – n (Un) dan juga rumus jumlah n suku yang pertama (Sn)

Rumus Mencari Un

Untuk mencari suku ke n pada barisan dan deret geometri, bisa memakai rumus berikut ini

Rumus Mencari Un

Contoh

Periksa apakah deret berikut konvergen atau divergen dengan cara mengamati rasionya!
a. 3 + 6 + 12 + 24 + ( … )

b. 2 + 2 + 2 + 2 + ( … )

c. 1 / 2 + 1 / 4 + 1 / 8 + 1 / 16 + ( … )

d. 3 – 1 + 1 / 3 – 1 / 9 + ( … )

e. -1 + 1 – 1 + 1 – 1 + ( … )

f. 2 – 6 + 18 – 54 + ( … )

Jawab :

(a) 3 + 6 + 12 + 24 + … = divergen
|r| = |2| ≥ 1

(b) 2 + 2 + 2 + 2 + … = divergen
|r| = |1| ≥ 1

(c) 1/2 + 1/4 + + 1/8 + 1/16 + … = konvergen
|r| = |1/2| < 1

(d) 3 – 1 + 1/3 – 1/9 + … = konvergen
|r| = |-1/3| < 1

(e) -1 + 1 – 1 + 1 – 1 + … = divergen
|r| = |-1| ≥ 1

(f) 2 – 6 + 18 – 54 + … = divergen
|r| = |-3| ≥ 1

Contoh Soal Deret Geometri Tak Hingga

Contoh Soal 1

Rumus suku ke-n suatu barisan geometri dinyatakan Un = 2-n. Tentukanlah jumlah tak hingga suku-suku dari barisan itu

Jawab :
Diket : Un = 3-n.
U1 = 3-1.= 1/3
U2 = 3-2 = 1/9

Didapatkan
a = 1/3
r = 1/91/3
= 1/3

Jumlah tak hingga suku-sukunya yaitu
S=a1−r⇒S=1/31−1/3=1/2

Contoh Soal 2

Jika jumlah dari deret geometri tak hingga yaitu sama dengan tiga kali suku pertamanya, maka rasio deret itu ialah …

Jawab :
Diketahui : S = 3a
S=a1−r⇔3a=a1−r1−r=a3a1−r=13r=23

Maka, rasio deret adalah 2/3.

Contoh Soal 3

Misalnya suku pertama deret geometri tak hingga yaitu a. Tentukanlah batas-batas nilai a supaya deret tersebut konvergen dengan jumlah 2.

Jawab :

Dikethaui S = 2
S=a1−r⇔2=a1−ra=2(1−r)a=2−2r2r=2−ar=2−a2

Deret geometri yang dimaksud konvergen, yaitu -1 < r < 1
−1<2−a2<1(kali2)−2<2−a<2(kurang2)−4<−a<0(kali(−1))4>a>00<a<4

Maka, deret akan konvergen dengan jumlah 2, ketika 0 < a < 4

Contoh Soal 4

Tentukan x supaya jumlah tak hingga dari deret geometri berikut = 1
3(x+3)+6(x+3)2+12(x+3)3+…

Jawab :

Suku pertama deret adalah a = 3(x+3)

Rasio dari deret tersebut yaitu r = U2U1 = 2x+3

Diketahui S = 1
S =a1−r⇔1=a1−r1−r=a1 = a+r1 =3x+3+2x+31 = 5x+3x+3=5x = 2

Contoh Soal 5

Tentukan nilai dari pq, jika
p sama dengan log 2 + log22 + log32 + log42 + …
q ama dengan log 5 + log25 + log35 + log45 + …

Jawab :
p sama dengan log 2 + log22 + log32 + log42 + …

Dari deret tersebut didapatkan
a = log 2
r = log 2
S = p

S = a1−r⇔p=log21−log2=log2log10−log2=log2log5=5log2

q = log 5 + log25 + log35 + log45 + …

Dari deret tersebt didapatkan
a = log 5
r = log 5
S = q

S = a1−r⇔q=log51−log5=log5log10−log5=log5log2=2log5

Maka, pq = 5log 2 . 2log 5 = 5log 5 = 1

Demikianlah pembahasan mengenai deret geometri tak hingga, Semoga bermanfaat

Artikel Lainya :