Contoh Soal Vektor Dan Pembahasannya Beserta Jawabannya

Posted on

Rumus.co.id – Pada kesempatan kali ini kita akan membahas mengenai contoh soal tentang vektor matematika untuk sd smp sma dan pada kesempatan sebelumnya kita juga telah membahas tentang Soal Olimpiade IPA SD tahun 2019 nah untuk saat ini materi lengkap tentang contoh soal mengenai vektor 2 dan 3 dimensi.

Soal No. 1

Ada dua buah vektor gaya yang sama besar dan masing – masing vektor besar nya ialah sebesar 10 Newton seperti gambar berikut ini :

sudut yang terbentuk antara kedua vektor adalah 60°

Jika sudut yang terbentuk nya antara kedua vektor yakni sekitar 60°, maka tentukanlah berapa besar atau nilai resultan dari kedua vektor tersebut ?

Jawaban nya :

Resultan untuk 2 buah vektor yang telah kita ketahui sudut nya ialah :

R = √F12 + √F22 + √2 F1 F2 cos

Dengan F1 = 10 N, lalu F2 = 10 N, kemudian α yakni sebuah sudut antara kedua vektor ( α = 60° ), dan R ialah besar resultan dari kedua buah vektor.

Sehingga menghasilkan :

  • R = √10 2 + √10 2 + √2 . 10 . 10 cos . 60o
  •     = √10 2 + √10 2 + √2 . 10 . 10 . 0,5
  •     = √300 = 10 √3 Newton

Soal No. 2

Dua buah vektor yang saling membentuk sudut 67o. Jika resultan nya membentuk sudut 37o terhadap vektor kedua nya yang besar nya ialah 15 N.

Maka besar vektor yang pertama nya ialah ?

Jawaban nya :

Di ketahui : F2 = 15 N

Berdasarkan aturan sinus :

  • F2 / sin 30o  = F1 / sin 37o = R / sin 67o
  • 15 / sin 30o  = F1 / sin 37o
  •         15 / ½  = F1 / 3/5
  •                 F1 = 18 N

Soal No. 3

Ada dua buah vektor dengan kecepatan P dan Q nya masing – masing memiliki besar 40 m/s dan 20 m/s dan membentuk sebuah sudut 60°, contoh nya bisa kalian lihat di bawah ini :

Dua buah vektor kecepatan P dan Q masing-masing besarnya 40 ms dan 20 ms membentuk sudut 60°

Maka tentukanlah selisih dari kedua buah vektor tersebut ?

Jawaban nya :

Menentukan selisih dari dua buah vektor yang diketahui sudutnya ialah seperti ini :

F1 – F2 = √F12 + √F22 – √2 F1 F2 cos α

Sehingga menghasilkan :

  • F1 – F2 = √40 2 + √20 2 – √2 . 40 . 20 . cos 60o
  •               = √402 + √202 – √2 . 40 . 20 . 0,5
  •               = √1200 = 20 √3 m/s

Soal No. 4

Ada dua buah vektor gaya yang masing – masing nya mempunyai 8 N dan 4 N dan saling mengapit sudut 120°. Maka tentukanlah berapa besar resultan dari kedua buah vektor tersebut ?

Jawaban nya :

Di ketahui :

  • F1 = 8 N
  • F2 = 4 N
  • α = 120°

Di tanya : R = …….. ?

Soal no. 4 ini sama seperti soal yang pertama, hanya saja ada sedikit perbedaan dari sudut antaranya, dengan rumus yang sama :

R = √F12 + √F22 + √2 F1 F2 cos

Maka akan memperoleh hasil :

  • R = √82 + √42 + √2 . 8 . 4 . cos 120o
  •    = √82 + √42 + √2 . 8 . 4 . ( – 0,5 )
  •    = √64 + √16 – √32
  •    = √48
  •    = √16 . √3
  •    = 4 √3 Newton

Soal No. 5

Dua buah vektor dengan gaya F1 dan F2 masing – masing besar nya ialah 5 N dan 12 N.

Bertitik tangkap sama dan saling mengapit sudut 60°, maka nilai resultan dari kedua vektor tersebut ialah ?

Jawaban nya :

Di ketahui :

  • F1 = 5 N
  • F2 = 12 N
  • sudut = 60o

Di tanya : Resultan dari kedua vektor…..?

Di jawab :

Hanya terdapat dua buah vektor dan kedua buah vektor itu tidak saling tegak lurus atau saling mengapit sudut 60o.

Karenanya penyelesaian soal ini akan menggunakan rumus cosinus :

  • F = √F12 + √F22 + √2 ( F1 ) ( F2 ) cos 60
  • F = √52 + √122 + √2 ( 5 ) ( 12 ) ( 0,5 )
  • F = √25 + √144 + √60
  • F = √229
  • F = 15,13 Newton

Soal No. 6

Ditentukan ada 2 buah vektor F yang besar nya sama. Dan bila perbandingan antara besar jumlah dan besar selisih dari kedua vektor nya adalah sama dengan  3, maka tentukanlah besar dari sudut yang di bentuk oleh kedua vektor tersebut !

Jawaban nya :

Jumlah dan selisih dari kedua vektor nya masing – masing ialah :

F1 + F2 = √F2 + √F2 + √2 . F . F cos α

F1 – F2  = √F2 + √F2 – √2 . F . F cos α

Perbandingan dari jumlah dan selisih nya yakni  3, maka :

√F2 + √F2 + √2 . F . F cos α / √F2 + √F2 – √2 . F . F cos α

=  3

Kemudian kuadratkan ruas kiri dan ruas kanan nya :

2 F2 + 2 F2 cos α / 2 F2 – 2 F2 cos α

= 3

Dan akhirnya di kali silang :

  • 2 F2 + 2 F2 cos α = 6 F2 – 6 F2 cos α
  •                      cos α = 1/2
  •                             α = 60o

Soal No. 7

Ada sebuah perahu yang menyeberangi sebuah sungai dengan lebar nya 180 m dan kecepatan air nya 4 m/s. Bila perahu di arahkan menyilang tegak lurus dengan kecepatan 3 m/s.

Maka tentukan panjang lintasan yang dapat ditempuh perahu tersebut agar sampai ke seberang sungai ?

membandingkan sisi-sisi segitiga ABC dan ADE

Jawaban nya :

Asumsikan bahwa perahu tadi bergerak lurus beraturan menempuh lintasan AD lalu resultan kecepatan perahu dan air ialah 5 m/s. Kita akan menggunakan aturan pytagoras.

Dengan membandingkan sisi – sisi dari segitiga ABC dan ADE, maka :

  • AD / DE = AB / BC
  •          AD = AB / BC x DE
  •          AD = 5/3 x 180 m
  •          AD = 300 m

Soal No. 8

Dua buah vektor yang memiliki besar yang sama yakni F. Bila besar nya resultan dari kedua vektor itu sama dengan F.

Maka berapakah sudut nya ?

Jawaban nya :

  •      F1 = F2 = F
  •       R = F
  •      R2 = √F12 + √F22 + √2 F1 F2 cos α
  •      F2 = √2 F2 + √2 F2 cos α
  •      F2 = 2 F2 = 2 F2 cos α
  •    – F2 = 2 F2 cos α
  • – 1/2 = cos α
  •       α =120o

Soal No. 9

Ada dua buah vektor yang masing – masing vektor dan besar nya ialah A = 8 satuan dan B = 10 satuan. Kedua vektor ini membentuk sebuah sudut 37°. Maka tentukanlah hasil dari :

  • A . B
  • A × B

Jawaban nya :

  • A . B ialah sebuah perkalian titik (dot) antara vektor A dan vektor B

Untuk perkalian titik berlaku :

A . B = A B cos θ

Sehingga menjadi :

  • A . B = A B cos 37° = ( 8 ) ( 10 ) ( 0,8 ) = 64 satuan.
  • A × B ialah sebuah perkalian silang (cross) antara vektor A dan vektor B

Untuk perkalian silang berlaku :

A × B = A B sin θ

Sehingga menjadi :

A × B = A B sin 37° = ( 8 ) ( 10 ) ( 0,6 ) = 48 satuan.

Soal No. 10

Sebuah gaya F = ( 2i + 3j ) N melakukan usaha dengan titik tangkap nya yang berpindah menurut r = ( 4i + aj ) m.

vektor i dan j berturut – turut ialah sebuah vektor satuan yang searah dengan sumbu x dan sumbu y pada koordinat kartesian. Jika usaha itu bernilai 26 J, maka nilai a sama dengan ialah ?

jawaban nya :

Besaran yang di hasilkan nanti nya ialah suatu skalar ( usaha termasuk besaran skalar, namun hanya memiliki besar, dan tanpa memiliki arah).

Usaha dilambangkan dengan W dari kata work, dengan rumus nya :

W = F ⋅ r

26 = ( 2i + 3j ) . ( 4i + aj )

Cara perkalian titik dua vektor dalam bentuk i dan j ialah yang i di kalikan dengan i, yang j di kalikan dengan j, sehingga seperti berikut ini :

  • 26 = 8 + 3a
  • 3a = 26 − 8
  •   a = 18/3 = 6

i dan j nya jadi hilang karena i kali i atau j kali j hasilnya ialah 1.

Soal No. 11

Ada 3 buah vektor, yakni :

a = 2i + 3j satuan.

b = 4i + 5j satuan.

c = 6i + 7j satuan.

Maka tentukanlah besar resultan dari ketiga vektor tersebut, dan kemiringan dari  sudut antara resultan dan sumbu X.

Jawaban nya :

  • a = 2i + 3j satuan.
  • b = 4i + 5j satuan.
  • c = 6i + 7j satuan.
  • R = ( 2 + 4 + 6 ) i + ( 3 + 5 + 7 ) j
  • R = 12i + 15j
  •     = √12 2 + √15 2
  •     = √360
  •     = 19, 21 satuan
  • tan  = 15/12 = 5/4 = 1, 25
  •         = 51, 34

Soal No. 12

Dua buah gaya yang saling tegak lurus, dan besar nya masing – masing 3 N dan 4 N. Maka besar resultan dari kedua gaya tersebut ialah ?

Jawaban nya :

Di ketahui :

  • F1 = 3 N
  • F2 = 4 N

Di tanya : Resultan kedua vektor…….?

Di jawab :

Hanya terdapat dua buah vektor dan kedua buah vektor itu saling tegak lurus, sehingga penyelesaiannya menggunakan rumus Pythagoras.

  • F = √F12 + √F22 = √32 + √42
  • F = √9 + √16 = √25
  • F = 5 Newton

Soal No. 13

Jika besar dari vektor A = 4 satuan dan membentuk sudut 30o dengan sumbu x positif, maka besar vektor tersebut dalam sumbu x dan sumbu y ialah ?

Jawaban nya :

Di ketahui :

  • A = 4 satuan
  • Sudut = 30o

Di tanya : Ax dan Ay ?

Di  jawab :

  • Ax = A cos 30o = ( 4 ) ( 1/2 √3 ) = 2 √3 satuan
  • Ay = A sin 30o = ( 4 ) ( 1/2 ) = 2 satuan

Soal No. 14

Silahkan perhatikan gambar berikut ini !

satu kotak mewakili 10 Newton

Jika 1 kotak bisa mewakili 10 Newton, maka tentukanlah resultan antara kedua vektor tersebut ?

Jawaban nya :

Pertama cari jumlah resultan dari sumbu x dan sumbu y, cukup hanya dengan menghitung kotak dari masing – masing vektor.

F1 ialah 30 ke arah sebelah kanan dan 40 ke arah atas, lalu sementara F2 ialah 50 ke arah sebelah kanan dan 20 ke arah atas, dan kemudian masukkanlah rumus resultan seperti berikut ini :

  • FX = 30 + 50 = 80 Newton
  • FX = 20 + 40 = 60 Newton
  •    R = √( FX ) 2 + √( Fy ) 2
  •    R = √60 2 + √80 2
  •    R = 100 Newton

Soal No. 15

Ada dua buah vektor dari masing – masing F1 nya ialah = 15 satuan dan F2 nya yakni = 10 satuan mengapit suatu sudut yang berderajat 60°, contoh nya bisa kalian lihat di bawah ini :

Dua buah vektor masing-masing F1 = 15 satuan dan F2 = 10 satuan mengapit sudut 60°

Maka tentukanlah arah dari resultan kedua buah vektor tersebut ?

Jawaban nya :

Langkah pertama yang harus di lakukan ialah dengan menentukan dulu besar dari resultan vektor nya :

  • R  = √152 + √102 + √2 . 15 . 10 . ( 0,5 )
  •      = √255 + √100 + √150
  •      = √475
  •      = √25 . 19
  •      = 5 √19 satuan

Yang dimaksud dengan arah resultan ialah sebuah sudut β pada gambar yang ada di bawah ini :

Arah Resultan

Dengan rumus sinus seperti di bawah ini :

F2 / sin β = R / sin α

sin β = F2 / R sin α

Maka akan memperoleh sebuah hasil arah resultan seperti di bawah ini :

  • sin β = F2 / R sin 60o
  • sin β = 10/5 √19 x 1/2  √3
  • sin β = 10 √3 / 10 √19
  • sin β =  √3 / √19 = 0,397
  •       β = 23,4o

Sekian dari penjelasan tentang contoh soal mengenai vektor beserta dengan pembahasannya semoga bermanfaat…

Baca Juga :